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Théorie de la diversification

Comment optimiser son portefeuille d’actifs :

Introduction à la frontière efficiente

    La notion de frontière efficiente a été introduite pour la première fois par Harry Markowitz, en 1952. Il s’agit de diversifier un portefeuille d’actifs risqués de manière à atteindre une espérance de gain et un risque optimaux.
Dans le cas idéal d’un portefeuille équitablement composé de n actifs indépendants présentant une espérance de rendement et un risque similaires, l’intérêt de la diversification se comprend tout de suite par les formules :
E(1/n Σ Xn)=E(X1) et var(1/n Σ Xn)=1/n var(X1)

Remarque : le rendement de l’action de valeur S0 aujourd’hui et de valeur aléatoire ST dans le futur, à la date T, est la variable aléatoire X = (ST - S0)/S0.

Autrement dit, à espérance de rendement égale, le portefeuille diversifié présente un risque racine carrée de n fois moindre.
Dans la réalité, les valeurs des actifs sont rarement indépendantes et leurs espérances de rendement et leurs risques ne sont pas les mêmes.

Considérons deux actifs risqués A et B. La valeur de chacun de ces actifs est connue aujourd’hui, mais pas leur valeur à un instant T ultérieur. On peut donc considérer ces grandeurs comme aléatoires et leur attribuer une espérance de rendement (EA, EB), une volatilité (c’est-à-dire un écart type, σA, σB) et un coefficient de corrélation ρAB. Dans le monde réel, toutes ces grandeurs sont déterminées de manière empirique et sont évidemment moins pures mathématiquement que dans notre modèle simplifié.
Nous diversifions notre portefeuille P de la manière suivante : une portion w de l’actif A et (1-w) de l’actif B. On obtient :
EP = w EA + (1-w) EB       

σP² = (w σA)² + [(1-w) σB]² + 2 w (1-w) σA σB ρAB

Si nos actifs sont parfaitement corrélés, ρAB = 1,
EP = w EA + (1-w) EB 
σP = w σA + (1-w) σB  

La diversification ne présente donc aucun intérêt : le risque évolue linéairement avec l’espérance de rendement :

Si au contraire, nos actifs sont inversement corrélés, ρAB = -1,
EP = w EA + (1-w) EB 
σP = |w σA - (1-w) σB|=   w σA - (1-w) σB    pour w > w0
                                    =  - w σA + (1-w) σB    pour w < w0   avec w0=σB/(σA+σB) 

Ce qui fait apparaître un portefeuille C de risque nul et d’espérance de rendement EC > EA en w = w0 !
EC est le barycentre de (EA, EB ) ponctué par (σB, σA ).

Enfin, si nos actifs sont faiblement corrélés, ρAB quelconque, proche de 0, on obtient comme précédemment un portefeuille optimal C présentant un risque minimal, inférieur à σA et σB, pour un rendement compris entre EA et EB.

Synthèse :

Cependant, pour chaque courbe, la portion de courbe sous le point optimal ne présente aucun intérêt, puisque pour un même risque, on peut trouver un portefeuille présentant une espérance de rendement supérieure.

La portion au dessus du point optimal est ce que l’on appelle la frontière efficiente :

La frontière efficiente trouve toute sa force lorsque l’on considère plusieurs actifs risqués réels ainsi que des actifs non risqués (comme des obligations d’Etat) au sein d’un même portefeuille. La frontière efficiente se trouve alors complétée par une portion de tangente offrant de nouvelles configurations de diversification à moindre risque.
Une stratégie de diversification reposant sur la frontière efficiente peut être implémentée  facilement sous Excel, à l’aide de l’outil Solveur.



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